零点与方程

天气预报里，气温从 -3℃ 一路升到 5℃，中间一定有某一刻正好是 0℃——这个「穿过零线」的瞬间，就是温度函数的零点。方程 f(x) = 0 的解，其实就是在问：函数什么时候刚好骑在零线上。只要有正有负又一路连续，中间必然踩到一个零点。

• 定义

  使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点；它既是方程 f(x) = 0 的实根，也是图像与 x 轴交点的横坐标。

• 判定

  零点存在定理：若 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) · f(b) < 0，则 (a, b) 内至少存在一个零点。

• 常用结论

  零点存在定理只保证「有零点」，不能确定个数；若 f(x) 在区间上还单调，则零点唯一。

• 易错点

  f(a) · f(b) < 0 是充分不必要条件；当 f(a) · f(b) > 0 时区间内也可能存在零点。

求函数 f(x) = x² - 2x - 3 的零点，并判断它在区间 (2, 4) 内是否有零点。

1. 1令 x² - 2x - 3 = 0，因式分解得 (x - 3)(x + 1) = 0。
2. 2解得 x = 3 或 x = -1，即函数零点为 -1 和 3。
3. 3端点取值：f(2) = 4 - 4 - 3 = -3 < 0，f(4) = 16 - 8 - 3 = 5 > 0。
4. 4f(2) · f(4) < 0 且 f(x) 连续，故 (2, 4) 内存在零点，即 x = 3。

答案：零点为 x = -1 和 x = 3；(2, 4) 内存在零点 x = 3。