幂函数

运动会报名分项目特别像幂函数：同样翻一倍，立方的规模是原来的 8 倍，平方却只有 4 倍，差别一下子拉开。填的人数、占的场地、拼的面积一变，规模就按不同的「几次方」放大。幂函数问的正是：这个量到底是几次方在起作用。

• 定义

  形如 y = xᵅ 的函数叫幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数，底数是变量而指数是常数。

• 性质

  所有幂函数图像都过点 (1, 1)；α > 0 时在 (0, +∞) 上单调递增，α < 0 时在 (0, +∞) 上单调递减。

• 常用结论

  常见幂函数有 y = x、y = x²、y = x³、y = 1/x、y = √x，熟记图像可快速判断单调性。

• 易错点

  幂函数要求指数是常数、底数是变量，别把它同指数函数 y = aˣ 混淆。

已知幂函数 f(x) = xᵅ 的图像经过点 (2, 8)，求 f(3) 的值。

1. 1图像过点 (2, 8)，代入得 2ᵅ = 8 = 2³。
2. 2所以 α = 3，即 f(x) = x³。
3. 3f(3) = 3³ = 27。

答案：f(3) = 27。