对数函数

宿舍查寝名单像个对数函数：人数从 1 涨到 10 很显眼，可从 100 涨到 110 你几乎懒得多看一眼，增长看着越来越慢。对数就是负责记「翻了多少倍」的那个记录员，专门把巨大的数字压缩成好读的小数字，数越大越迟钝。

• 定义

  形如 y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）的函数叫对数函数，定义域是 (0, +∞)，值域是全体实数。

• 性质

  a > 1 时函数单调递增，0 < a < 1 时单调递减；图像都过定点 (1, 0)，且恒在 y 轴右侧。

• 常用结论

  logₐ1 = 0，logₐa = 1；真数必须大于 0，求定义域时先列真数大于 0 的不等式。

• 易错点

  求定义域只盯真数大于 0，却漏看底数 a > 0 且 a ≠ 1 的条件，答案会不完整。

求函数 f(x) = log₂(x - 1) 的定义域，并计算 f(5) 的值。

1. 1真数必须大于 0：x - 1 > 0，解得 x > 1。
2. 2所以定义域是 (1, +∞)。
3. 3f(5) = log₂(5 - 1) = log₂4 = 2。

答案：定义域 (1, +∞)，f(5) = 2。