函数的单调性与奇偶性

早上赶去食堂打饭，越晚到队排得越长，等待时间跟着到达时间「一路往上」；宿舍查寝只看床铺整不整齐，不管你在楼道哪一头，标准都一样，这份「镜里镜外一个样」就是对称。函数也一样，一路往上叫增，照镜子一样叫偶。趋势和对称，就是它的两个性格。

• 定义

  设函数 f(x) 在区间 I 上有意义，任取 x1 < x2，若 f(x1) < f(x2) 恒成立，则 f 在 I 上单调递增；若 f(x1) > f(x2) 恒成立，则单调递减。

• 判定

  偶函数满足 f(-x) = f(x)，图像关于 y 轴对称；奇函数满足 f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。定义域必须关于原点对称，否则既非奇也非偶。

• 常用结论

  增加增仍为增，减加减仍为减；f(x) 与 f(x) + c 单调性相同；奇函数若在 x = 0 处有定义，则 f(0) = 0。

• 易错点

  单调性是区间上的性质，如 f(x) = 1/x 在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上分别递减，但不能说它在整个定义域上递减。

已知 f(x) = x² - 2x + 3，判断它在区间 [1, +∞) 上的单调性，并判断 f(x) 的奇偶性。

1. 1配方：f(x) = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2，开口向上，对称轴为 x = 1。
2. 2在 [1, +∞) 上，x 越大离对称轴越远，f(x) 越大，所以 f(x) 单调递增。
3. 3判断奇偶：f(-x) = x² + 2x + 3，与 f(x)、-f(x) 都不相等。例如 f(1) = 2，f(-1) = 6，-f(1) = -2。
4. 4故 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数。

答案：f(x) 在 [1, +∞) 上单调递增；f(x) 既不是奇函数也不是偶函数。