基本不等式

食堂打饭拼餐最讲究人均：你和同桌各出一点，总额固定时，两个人出得越接近，单人负担越轻。要是你出 10 块他出 1 块，平均下来谁都别扭。基本不等式说的就是这种「和固定时越平均越占优」的道理，反过来积固定时接近也最省。

• 定义

  对任意正数 a、b，都有 a + b ≥ 2√(ab)，当且仅当 a = b 时取等号。

• 公式

  常用变形：ab ≤ ((a + b)/2)²；使用 a + b ≥ 2√(ab) 的前提是一正、二定、三相等。

• 判定

  求最值时先确认各项均为正、和或积为定值，再看等号能否取到，三者缺一不可。

• 易错点

  两个数不一定都是正数，若为负要先取负号或换元，直接套公式会出错。

已知 x > 0，求 y = x + 4/x 的最小值及取得最小值时 x 的值。

1. 1因为 x > 0，所以 x 与 4/x 都为正，满足「一正」。
2. 2由基本不等式：x + 4/x ≥ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4。
3. 3取等号需 x = 4/x，即 x² = 4，由 x > 0 得 x = 2。

答案：最小值为 4，此时 x = 2。